Back to Top
  3. Τα έξι άλυτα μαθηματικά προβλήματα

Τα έξι άλυτα μαθηματικά προβλήματα

Το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay στη Μασαχουσέτη, έχει θεσπίσει το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον μπορέσει να λύσει έστω ένα από αυτά.

Μέχρι πριν λίγο καιρό, τα άλυτα μαθηματικά προβλήματα ήταν 7. Ωστόσο ο Ρώσος Γκριγκόρι Πέρελμαν, κατάφερε να λύσει την υπόθεση του Πουανκαρέ, που παρέμενε χωρίς απόδειξη από το 1904.  Ο Ρώσος, αρνήθηκε την αμοιβή του ενός εκατομμυρίου δολαρίων, τονίζοντας ότι δεν τον ενδιαφέρουν τα χρήματα και ότι ο ίδιος αμφιβάλλει αν είναι και τόσο καλός μαθηματικός.

 Η υπόθεση του Riemann: Η υπόθεση που διατύπωσε το 1859 ο μαθηματικός Bemhard Riemann σχετίζεται με τη συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Σημειώνεται ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους π.χ. 3, 5, 7, 11 κ.ο.κ. Η συχνότητα εμφάνισης των πρώτων αριθμών στην αριθμητική ακολουθία μειώνεται σταδιακά, αλλά έχει διαπιστωθεί συστηματικότητα στην εμφάνισή τους, με κάποιες παρεκκλίσεις. Ο μαθηματικός, με τη βοήθεια μιας συνάρτησης, που έγινε γνωστή ως η "Ζ συνάρτηση του Riemann", περιέγραψε ακριβώς αυτές τις παρεκκλίσεις. Ωστόσο, λείπει η τελική απόδειξη της θεωρίας του εδώ και 150 χρόνια.

Η εικασία των Birch και Swinnerton - Dyer: Το 1965, οι δυο μαθηματικοί διατύπωσαν την εικασία ότι υπάρχει μια συνάρτηση, η L-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης, η οποία μπορεί να προσδιορίσει εάν υπάρχουν άπειρες ή πεπερασμένες λύσεις στις εξισώσεις τύπου ψ2=x2-x+1, στο πεδίο των ακέραιων αριθμών. Η απόδειξη της ως άνω εικασίας αποτελεί ένα από τα μεγαλύτερα μαθηματικά προβλήματα της εποχής μας, με πολλαπλές εφαρμογές στον τομέα των ελλειπτικών καμπυλών.

Η εικασία του Hodge: Η εικασία του σκοτσέζου μαθηματικού William Hodge από το 1930, σχετίζεται με τη δυνατότητα γεωμετρικής εξήγησης πολύπλοκων σχημάτων που συναντώνται τόσο στην τρισδιάστατη αποτύπωση της πραγματικότητας, όσο και σε περισσότερες διαστάσεις. Ο Hodge ισχυρίστηκε ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, με την τεχνική της συγκόλλησης γεωμετρικών σχημάτων, σε μια θεωρία που, αν και δεν αποδείχθηκε εδώ και 80 χρόνια, βοήθησε ιδιαίτερα την τεχνολογική εξέλιξη στον τομέα του animation, όπου απαιτούνται πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις.

Οι εξισώσεις Navier - Stokes: Οι δυο μαθηματικοί, με ένα σύνολο εξισώσεων που διατύπωσαν πριν από 150 χρόνια, αποπειράθηκαν να περιγράψουν την κίνηση των ρευστών, όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Σύμφωνα με αυτές, οι μεταβολές στην ορμή μιας απειροελάχιστης μονάδας ρευστού είναι το άθροισμα των δυνάμεων που δρουν μέσα σε αυτό. Εφαρμογές του πλέγματος εξισώσεων των δυο μαθηματικών βρίσκονται στην μετεωρολογία, την αστρονομία και τη φυσική.

Ωστόσο, παρά την χρήση εξελιγμένων υπολογιστών για τον υπολογισμό κινήσεων ρευστών σε φαινόμενα όπως το Ελ Νίνιο, οι προβλέψεις δεν είναι ακριβείς, καθώς υπάρχουν χιλιάδες παράμετροι που στρεβλώνουν την τελική κίνηση του ρευστού. Το ινστιτούτο Clay προσφέρει έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον παρουσιάσει σοβαρή πρόοδο στις εξισώσεις αυτές.

Η θεωρία Yang - Mills: Πριν από 50 χρόνια, οι φυσικοί Chen Ning Yang και Robert Mills παρουσίασαν ένα πλαίσιο που περιγράφει τις κινήσεις των στοιχειωδών σωματιδίων, με τα οποία ασχολείται η κβαντική φυσική και η κβαντομηχανική. Ωστόσο, αν και η περιγραφή των αλληλεπιδράσεων των σωματιδίων έχει ελεγχθεί σε εργαστήρια και δείχνει ακριβής, το μαθηματικό υπόβαθρο είναι ακόμη ασαφές. Πιο συγκεκριμένα, μένει να αποδειχθεί ότι ακόμη και η πιο ελαφριά κατάσταση του σωματιδίου ενός κβαντικού πεδίου πρέπει να έχει αυστηρά θετική μάζα.

P versus NP: Υπάρχει μια ιδανική διάταξη συνδαιτυμόνων; Στο συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται η υπόθεση ότι είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από 400 ικανοποιούν προϋποθέσεις ώστε να μην συμπεριληφθούν σε μία λίστα αλλά είναι εξαιρετικά δύσκολο να τη δημιουργήσουμε εμείς. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους, για παράδειγμα, από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν! Οι επιστήμονες το χαρακτηρίζουν πρακτικά αδύνατο καθώς δεν μπορεί να λυθεί ούτε με τον πιο ισχυρό υπερυπολογιστή. Τη δεκαετία του 1970 οι Stephen Cook και Leonid Levin διατύπωσαν το πρόβλημα με Ρ το ενδεχόμενο να βρεθεί λύση και ΝΡ να μπορεί να ελεγχθεί η λύση. Γενικά, επικεντρώνεται στο αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν και κατά πόσο είναι πρακτικά δυνατό να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες.
..

στις